Old exercices with some Norwegian solutions:

Oppg. 1: Vis at Toffoli-porten (se s. 29) kan realiseres som en kvante-port, dvs. finn den tilhørende matrisen og vis at den er unitær.

Oppg. 2: Fig. 1.16 viser en klassisk krets som kopierer en bit, dvs. FANOUT. Forklar hvorfor / vis at den tilsvarende kvantekrets-konfigurasjonen ikke kan brukes til å kopiere en kvantebit.

Oppg. 3: Design kvantekretser som implementerer U_f for de fire mulige funksjoner f(x), se fig. 1.17. Bruk CNOT og enkelt-qubit-porter.

Oppg. 4: Exercise 2.2. Finn matriserepresentasjonen til A med hensyn på basisene:

a) |0> og |1>

b) (|0> + |1>)/Ö2 og (|0> - |1>)/Ö2

(Bruk samme inn- og ut-basis).

Løsning 1

Exercise 2.5, 2.6, 2.7

Exercise 2.8: Vis at Gram-Schmidt metoden gir en ortonormal basis for vektorrommet V, se likn. (2.17). Dvs.:

- vis at vektoren |v_k+1> ikke er nullvektoren.

- vis at vektoren |v_k+1> er normalisert.

- vis at vektorene |v_k+1> og | v_j> er ortogonale for j £ k.

- forklar hvorfor vektorene |v₁>, …, |v_d> danner en basis for V.

Exercise 2.9, 2.10, 2.11, 2.12

Løsning 2

Exercise 2.14-2.25 untatt 2.21. På 2.20 er løsningen A’’ = UA’U⁺ for en unitær U. Vis det og finn U.

Løsning 3

Exercise 2.26-2.33.

Exercise 2.35 (Hint: Vis og bruk at (v×s)² = I).

Løsning 4

Exercise 2.44-2.48.

Exercise 2.51-2.61.

Oppgave med POVM-målinger: Gitt tre operatorer E₁, E₂ og E₃ definert ved likningene (2.118-2.120).

- Vis at operatorene er positive.

- Forklar hvorfor vi kan definere måleoperatorene M_m = ÖE_m og vis at relasjonen (2.94) er tilfredsstilt.

- Vi utfører nå en måling av en qubit som er i en av to tilstander |y₁> = |0> eller |y₂> = (|0>+|1>)/Ö2. Vis at dersom resultatet av målingen med {M_m} er m = 1 så var tilstanden helt sikkert |y₂> og dersom resultatet av målingen er m = 2 så var tilstanden helt sikkert |y₁>.

- Er det mulig å skille mellom to ikke-ortogonale tilstander (slik som |y₁> og |y₂>) med denne metoden?

Løsning 5

Exercise 2.65-2.66.

Exercise 1.2 s.57.

Exercise 2.69

Exercise 2.70 (fasit: Nei: Enhver måling på Alice’s qubit kan beskrives med EÄI som gir samme resultat uansett bit-streng).

Exercise 2.71-2.72, 2.74-2.75, 2.78.

Løsning 6

Exercise 4.1-4.3, 4.5-4.8, 4.13, 4.16-4.20.

Løsning 7

Exercise 7.6; i tillegg vis at skapelsesoperatoren a⁺ ikke har noen normalisert egenvektor.

Exercise 7.14

Exercise 4.33 (se bort fra de to siste setningene som starter med "More precisely,...").

Løsning 8

Exercise 11.1, 11.2, 11.12.

Øvingsoppgave om lineære multiporter